Capítulo 5: Rectas y planos perpendiculares y paralelos en el plano y el espacio
Plano y recta perpendicular
Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan y si, además, toda recta en el plano que pase por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada.
Ejercicios
En la página 214, realiza el ejercicio 8
En la pagina 215, realiza los ejercicios 9 y 10
Figura interactiva 36
Teorema 45
Si una recta es perpendicular a dos rectas que se intersecan en su punto de intersección, entonces es perpendicular al plano que contiene a las 2 rectas.
Rectas y planos perpendiculares en el espacio
Teorema 46
Si B y C equidistan de P y Q, entonces todo punto entre B y C también equidista de P y Q
En la página 217, realiza los ejercicios 1,3,5,6,8
En la pagina 218, realiza los ejercicios 9,10 y 11
Figura interactiva 37
Corolario 6
Se dan un segmento AB y una recta l en el mismo plano. Si 2 puntos de l equidistan de A y B, entonces l es la mediatriz del segmento AB
Ejercicios
Figura interactiva 38
Por un punto dado de una recta dada, pasa un plano perpendicular a la recta dada
Ejercicios
En la pagina 221, realiza los ejercicios 3,4,5,6,7,8
En la pagina 222, realiza los ejercicios 12,13,14
Figura interactiva 39
Teorema 47
Teorema 48
Si una recta y un plano son perpendiculares, entonces el plano contiene toda recta perpendicular a la recta dada en su punto de intersección con el plano dado
Teorema 49
Por un punto dado de una recta dada, pasa solamente un plano perpendicular a la recta
Teorema 52 - Teorema del plano bisecante perpendicular
El plano bisecante perpendicular de un segmento es el conjunto de todos los puntos equidistantes de los extremos del segmento.
Figura interactiva 40
Teorema 51
Por un punto dado, pasa una recta y solamente una, perpendicular a un plano dado
Por un punto dado, pasa un plano y solamente uno, perpendicular a la recta dada.
Teorema 50
Teorema 53
Dos rectas perpendiculares al mismo plano son coplanarias
En la página 224, realiza el ejercicio 1
En la pagina 225, realiza los ejercicios 2,3,1
En la pagina 226, realiza los ejercicios 8,9,10
En la pagina 227, realiza los ejercicios 11,12,13,14,15,16,17
Figura interactiva 41
Ejercicios
Distancia de un punto externo a un plano
Es la longitud del segmento perpendicular desde el punto al plano
Teorema 54 - Segundo teorema de la minima distancia
El segmento mas corto desde un punto a un plano que no lo contiene, es el segmento perpendicular
Figura interactiva 42
Rectas alabeadas
Dos rectas son paralelas, si 1) estan en un mismo plano y 2) no se intersecan. Se nota ||
Ejercicios
En la página 234, realiza los ejercicios 1 y 5.
En la pagina 235, realiza los ejercicios 8,9,10,11 y 12
Figura interactiva 43
Teorema 55
Dos rectas paralelas están exactamente en un plano.
Rectas paralelas en un plano
Dos rectas son alabeadas, si no están en un mismo plano.
Rectas paralelas
Teorema 56
Dos rectas en un plano, son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta
Teorema 57
Sea L una recta y P un punto que no está en L, entonces hay al menos una recta que pasa por P y es paralela a L.
Secante
Una secante a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en dos puntos diferentes.
Si una secante corta a dos rectas en los puntos P y Q, entones decimos que las rectas determinan o marcan el segmento PQ en la secante.
Si una secante corta a 3 rectas en P,Q y R. Si PQ=QR, entonces decimos que las 3 rectas determinan segmentos congruentes en la secante.
Ángulos alternos internos
Sean L y M dos rectas cortadas por una secante T en los puntos P y Q. Sea A un punto de L y B un punto de M, talque A y B están a lados opuestos de T. Entonces, el <APQ y el <PQB son ángulos alternos internos.
Teorema 58
Si dos rectas son cortadas por una secante, y si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos (AAI) son tambien congruentes.
Teorema 59 - El teorema alternos internos paralelas (AIP)
Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos AAI son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Figura interactiva 44
Figura interactiva 45
Postulado 19 - El postulado de las paralelas
Por un punto externo dado hay solamente una recta paralela a una recta dada.
Teorema 60 - El teorema paralelas alternos internos (PAI)
Se dan dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.
Si dos rectas son paralelas, entonces todos los puntos de cada recta equidistan de la otra recta.
Corolario 7
Distancia
La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de cualquier punto de una de ellas a otra.
Figura interactiva 46
Teorema 61
Si dos rectas son cortadas por una secante de modo que el <a y el <c' son ángulosalternos internos, y los ángulos <c' y <a' son opuestos por el vértice, entonces el <a y <a' son ángulos correspondientes.
En la página 237, realiza los ejercicios 3 y 4
En la pagina 240, realiza los ejercicios 3,4,5,6 y 7
En la pagina 241, realiza los ejercicios 9,10,11,12,13,14 y 15
Figura interactiva 47
Ejercicios
Ángulos correspondientes
Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces dos AAI son congruentes.
Teorema 62
Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Teorema 63
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, cada dos ángulos correspondientes son congruentes.
Teorema 64
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, los ángulos internos a un mismo lado de la secante son suplementarios.
Teorema 65
En un plano, si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas entre sí.
Teorema 66
En un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, es perpendicular a la otra.
Sea una correspondencia entre 2 triángulos. Si los pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los ángulos correspondientes del tercer par son congruentes.
Ejercicios
Figura interactiva 48
Teorema 67
Triángulos
Para todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es 180°.
Cuadrilátero convexo
Un cuadrilátero es convexo, si dos cualesquiera de sus vértices no están en lados opuestos de una recta que contiene a un lado del cuadrilátero.
Figura interactiva 49
Corolario 8
Corolario 9
Los ángulos agudos de un triángulos rectángulo son complementarios.
Corolario 10
En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos
Ejercicios
En la página 244, realiza los ejercicios 3,6,7,8,9,10,12 y 13
En la pagina 245, realiza los ejercicios 14, 15 y 16
Cuadriláteros
Lados opuestos
2 lados son opuestos, si no se intersecan.
Lados consecutivos
2 lados son consecutivos, si tienen un extremo común
Ángulos opuestos
2 ángulos son opuestos, si no tienen en común un lado del cuadrilátero.
Ángulos consecutivos
2 ángulos son consecutivos, si tienen en común un lado del cuadrilátero.
Diagonal de un cuadrilátero
Segmento que une dos vértices no consecutivos
Figura interactiva 50
Trapecio
Es un cuadrilátero que tiene 2 lados paralelos
Figura interactiva 51
Paralelogramo
Cuadrilátero donde ambos pares de lados opuestos son paralelos
Teorema 68
Las diagonales del paralelogramo descomponen al paralelogramo en 2 triángulos congruentes.
Teorema 69
En un paralelogramo, 2 lados opuestos cualesquiera son congruentes.
Teorema 70
En un paralelogramo, 2 ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.
Teorema 71
En un paralelogramo, 2 ángulos consecutivos son suplementarios.
Teorema 72
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
Teorema 73
Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo
Teorema 74
Si 2 lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Teorema 75
Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Figura interactiva 52
Teorema 76
El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.
En la página 249, realiza el ejercicio 4
En la pagina 250, realiza los ejercicios 5,6,7,8,9,11 y 13
En la pagina 251, realiza los ejercicios 14,15,16,17,18,19 y 20
Teorema 77
Es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes
En la página 252, realiza los ejercicios 2,3,4 y 5
En la pagina 253, realiza los ejercicios 8,9,10,11 y 12
Figura interactiva 53
Ejercicios
Rombo
Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces tiene 4 ángulos rectos y el paralelogramo es un rectángulo
Teorema 78
En un rombo, las diagonales son perpendiculares entre sí
Teorema 79
Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan y son perpendiculares, entonces el cuadrilátero es un rombo
Rombo, rectángulo y cuadrado
Ejercicios
En la página 255, realiza los ejercicios 4 y 5
Figura interactiva 54
Teorema 81 - El teorema del triángulo 30-60-90
Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene medida 30°, entonces la longitud del lado opuesto es la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Triángulos rectángulos
Teorema 80
La longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Teorema 82
Si la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto tiene medida de 30.
Teorema 84
En la página 259, haz los ejercicios 1,2,3 y 4
En la pagina 260, haz los ejercicios 6,7,8 y 9.
En la página 263, realiza los ejercicios 1,2 y 3
En la página 264, realiza elejercicio 3
En la página 265, realiza los ejercicios 4,5,6,7,8,9,10,11 y 12
En la página 266, realiza los ejercicios 14,15,16,17,18,19 y 20
En la página 267, realiza los ejercicios 21,22,23 y 24
Figura interactiva 55
Ejercicios
Si 3 rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante T, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier secante T' paralela a T.
Si 3 rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante T, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.
Teorema 83
Si 3 o más rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.
Secantes a varias rectas paralelas
Corolario 11
Rectas y planos paralelos
Teorema 85
Dos planos, o un plano y una recta, son paralelos, si no se intersecan.
Figura interactiva 56
Planos paralelos y rectas
Si un plano interseca a dos planos paralelos, entonces la intersección consiste en dos rectas paralelas.
Teorema 86
Si una recta es perpendicular a uno de dos planos paralelos, entonces es perpendicular al otro
Teorema 87
Dos planos perpendiculares a la misma recta son paralelos
Corolario 12
Si cada uno de dos planos es paralelo a un tercer plano, los planos son paralelos entre sí
Teorema 88
Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas.
Corolario 13
Si cada una de dos rectas es paralela a una tercera recta, entonces son paralelas entre si
Teorema 89
Dos planos paralelos equidistan en toda su extensión
Corolario 14
Un plano perpendicular a una de dos rectas paralelas es perpendicular a la otra.
Ejercicios
En la página 273, realiza los ejercicios 1,3 y 5
En la pagina 274, realiza los ejercicios 6,7,8,9,10 y 11
En la página 275, realiza los ejercicios 3,14 y 15
Teorema 90
En la página 278, realiza el ejercicio 1
En la pagina 279, trabaja los ejercicios 3,4,5,6,7 y 8
En la página 280, realiza los ejercicios 11,12,13 y 14
Figura interactiva 57
Ejercicios
Si dos semiplanos tienen la misma arista, pero no están en el mismo plano, entonces la reunión de los dos semiplanos y su arista común es: ángulo diedro. Se nota <A-PQ-B
Los ángulos diedros tienen su interior y exterior, y los ángulos diedros opuestos son congruentes
La recta que es la arista común de los dos semiplanos se llama la arista del ángulo diedro.
La reuniónn de la arista y cualquiera de los dos semiplanos se llama una cara del ángulo diedro.
Sean dados un ángulo diedro y un plano perpendicular a su arista. La intersección del plano perpendicular con el ángulo diedro se llama ángulo rectilineo del ángulo diedro
Ángulos diedros y planos perpendiculares
Ángulo diedro
Ángulo rectilineo del ángulo diedro
Figura interactiva 58
Todos los ángulos rectilineos de un mismo ángulo diedro son congruentes.
Medida de un ángulo diedro
La medida de un ángulo diedro es un número real que es la medida de cada uno de sus ángulos rectilíneos. Un ángulo diedro recto es aquel cuyos ángulos rectilineos son ángulos rectos. Dos planos son perpendiculares, si contienen un ángulos diedro recto.
Teorema 91
Si una recta es perpendicular a un plano dado, entonces todo plano que contenga a la recta es perpendicular al plano dado.
Teorema 92
Si dos planos son perpendiculares, entonces una recta cualquiera de uno de ellos, perpendicular a su recta de intersección, es perpendicular al otro plano.
Figura interactiva 59
Teorema 93 - Teorema de Desargues
Se dan dos triángulos en planos no paralelos, de manera que las rectas que unen sus vertices correspondientes se intersecan en un mismo punto. Si las rectas que contienen lados correspondientes de los triángulos se intersecan, los puntos de intersección estan alineados.
Figura interactiva 60
Figura interactiva 61
La proyección de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular que va del punto al plano.
Si P está en el plano, la proyección es el mismo
Proyecciones
Proyección de un punto sobre un plano
Proyección de un conjunto
Figura interactiva 62
Proyección de una recta sobre un plano
La proyección de una recta sobre un plano es el conjunto de todos los puntos del plano que son proyecciones de los puntos de la recta.
La proyección de una recta perpendicular a un plano, siempre es un punto
Teorema 94
Si una recta y un plano no son perpendiculares, entonces la proyección de la recta sobre el plano es una recta.
Si A es un conjunto de puntos cualquiera en el espacio, y E es un plano, entonces la proyección de A sobre E es el conjunto de todos los puntos que son proyecciones de los puntos de A sobre E.
Ejercicios
En la página 284, realiza los ejercicios 3 y 4
En la pagina 285, trabaja los ejercicios 8,9,10 y 11
En la página 286, realiza los ejercicios 12,13,14 y 1
En la página 287, realiza los ejercicios 2,3 y 5
En la página 288, realiza los ejercicios 6,7,8 y 9.